高數和概率論精選(五篇)

序言：作為思想的載體和知識的探索者，寫作是一種獨特的藝術，我們為您準備了不同風格的5篇高數和概率論，期待它們能激發您的靈感。

篇1

關鍵詞：高等數學；概率論；探討

一、用中值定理對命題的證明

在高等數學教學中學生對于使用羅爾中值定理，對一些命題進行證明的時候往往得不到要點，解不出相關的題目。這種類型的題目的特點是比較抽象，需要有一定的想象能力、觀察能力。在此以以下三個題目為例，對此類型的題目做一些歸納總結。

例1：證明拉格朗日中值定理：若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，則至少存在一點ξ∈（a,b），使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。（該題為2009年研究生入學考試數學三的真題）

這個題目是教材上的定理教材作了詳細的證明。有一本教材是這樣證明的：

作輔助函數φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)

由定理假設易知φ(x)滿足條件：（1）在閉區間在[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)可內導；（3）φ(a)=φ(b)=0，因此由羅爾定理可知，至少存在一點ξ∈(a,b)，使得φ'(ξ)=f'(ξ)- =0即f'(ξ)= 。

有不少學生會學得為什么要造讓φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)這樣的輔助函數，理論依據是什么，如果沒有依據是很難聯想到這樣的函數的。

例2：已知常數b＞0，函數f(x)在閉區間[0,b]上連續，在開區間(0,b)內可導，則至少存在一點ξ∈(0,b)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。

證明方法如下

證明：作輔助函數，φ(x)=xf(x)-f(b)x顯然φ(x)滿足條件：（1）在閉區間在[0,b]上連續；（2）在(0,b)可內導；（3）φ(0)=φ(b)=0因此由羅爾定理可知，至少存在一點ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ=)f(ξ)+ξf'(ξ)-f(b)=0即f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。

這個題目與拉格朗日中值定理的證明有很大的類似之處，不同的是輔助函數不同，應用羅爾中值定理的區間具體化了，函數不同了。下面一個例子難度就更大了，借助于這個例子我們可以從中找出規律。

例3：證明：已知函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間 內可導，f(b)=0，則至少存在一點ξ∈(0,b)，使得f'(ξ)= 。

證明方法如下：

證明：作輔助函數φ(x)=(x-a)bf(x)，顯然φ(x)滿足條件：（1）在閉區間在[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)可內導，由拉格朗日中值定理可知：至少存在一點ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ)= ，整理后可得f'(ξ)=

這個證明題的難點在于，輔助函數的構造很難。遇到這個題目，頭腦比較靈活的學生會想到令φ(x)=(x-a)f(x)，但這樣卻達不到解題的目的。

那么這一類型的題目有沒有相應的依據呢。我們可以沿著這樣的思路去解這個題目：在微分學中，只有兩個定理可以證明存在一點ξ∈(a,b)，使得某個等式成立。這兩個定理分別是介值定理和中值定理。介值定理中不含有某一個函數的導數，因此對于該題目不適用。那只有用中值定理，而中值定理分為三個，分別是：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。但后兩者都是在羅爾中值定理的基礎上得以證明的。因此我們只需要使用羅爾中值定理即可解出這一類題目。羅爾定理的內容是：如果函數f(x)滿足條件：（1）在閉區間[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)可內導；（3）在區間兩個端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。羅爾定理的主體是一個函數和一個區間。要想使用羅爾中值定理必須找到一個函數和一個區間，而區間往往是題目已經給定的，所以重點就在于找一個輔助函數，然后應用羅爾定理，證明出該題目。因為要證明的是：f'(ξ)= ，整理后可得： +f'(ξ)=0，這種形式與羅爾定理的結論比較接近了，但是我們仍舊不容易找出哪一個函數在ξ處的導致為 +f'(ξ)，聯想到[eg(x)f(x)]'=eg(x)[g'(x)f(x)+f'(x)]，我們令g'(x)= ，然后求出g(x)那么令φ(x)=eg(x)f(x)，將是我們需要的輔助函數。不難求出eg(x)=(x-a)b，然后對函數φ(x)=(x-a)bf(x)在區間[a,b]上使用羅爾中值定理即可解出該題目。

該類題目看似是微分學的內容，卻使用了不定積分的方法，這也是這類型題目的難的地方。希望這種方法可以給講授微積分課程的老師和學習微積分課程的學生帶來一定的幫助。

二、數學期望存在的一個條件的說明

離散型隨機變量的數學期望定義是：設隨機變量X的分布率為P{X=xi}=pi(k=1,2,…)，EX= x p{X=x }= x P 稱為X的數學期望。（注：若X的可能值的個數是可數的，要求級數 x P 絕對收斂）由于有些課本對此沒有進一步說明讀者難以深刻理解在此做以說明。

因為離散型隨機變量的可能值x1,x2,…xr,…之間實際上沒有先后順序的關系，故要求級數絕對收斂，因此只有絕對收斂級數的和才與其項的順序無關。例子如下：

由于若x∈(-1,1)，則In(1+x)=(-1)n+1 xn+…，

當x=1時， (-1)=1- + - + - + - +…=1n2①

上式乘以 后，有(-1)= - + - +…= 1n2②

①+②可得：1+ - + - - +…= 1n2

因此離散型隨機變量的數學期望必須加上一個條件就是：若X的可能值的個數是可數的，要求級數 x p 絕對收斂。

以上兩個問題是學生在學習過程中的難點，也是作者本人在教學過程中一總結，希望對在學習微積分和概率論課和中的學生有所幫助。

參考文獻：

［1］數學分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

篇2

關鍵詞： 小學數學 新課標 教學效率

小學數學是義務教育的重要學科之一，是小學教育的重要組成部分。但如今的小學數學課堂教學卻陷入了一個怪圈，一方面新課改要求以人為本，通過挖掘學生的潛質，激發學生的潛能來達到教學的目的。另一方面，一線教師又要背負著升學的巨大壓力。“教授學生的”與“考核學生的”兩者之間似乎形成了難以調和的矛盾，影響著教學效率的提高。不過，世界原本就是矛盾的統一體，有矛盾才會有進步。只要端正態度，積極尋找解決問題的方法，提高學習效率，這一難題一定會迎刃而解。那么，新課改下我們又該通過什么樣的途徑來提高小學數學課堂教學效率呢？我將從以下幾個方面進行探討。

一、創設情境，正確引導學生

《數學課程標準》指出：“應力求從學生熟悉的生活情境與童話世界出發，選擇學生身邊的、感興趣的事物，提出有關的數學問題，以激發學生學習的興趣與動機。”生活是豐富多彩的，是人類展現自我的大舞臺。在生活中，人們會面臨各種各樣的狀況，需要通過主動地探尋、摸索規律，來解決實際問題。針對這一特性，小學數學教師應緊貼生活，創設相關的情境，把教材融入到生活中去，通過對相似情境的刺激和啟發，讓學生發現、質疑、探究數學中的一些實際問題。在此過程中，小學數學教師若能夠正確地引導學生，在學生面臨問題時為之提供有效的引導與證實，則一定能激發學生的興趣，喚醒學生對數學學習的求知欲與創造欲。

需要特別注意的是，一些小學數學老師教學設計中的“創設情境”多為“為創設而創設”。創設上缺乏挑戰，跳躍性過強，忽視關聯性，情境創設演變成學生被老師強行從一個情境中轉移到另一個情境中。如此下來，學生眼花繚亂，疲于應付，很難做到真正地去思考問題。對于這一現象，我認為，不能因為新課標提倡情境創設，就一味迎合，情境的創設應在同一個數學情境中，這樣有利于學生消化所學知識。同時，數學情境不應只是“生活情境”與“數學問題”的疊加，而應從學生的發展需要出發，基于數學本質（包含數學思想方法與相關數學知識于一體），有選擇地融入生活元素。

二、啟發式教學與討論式教學雙管齊下

教學實踐告訴我們，并非老師教了，學生就能獲取知識。只有讓學生喜歡“參與”，并積極地參與其中，才是真正學了，學到的東西才是真的會了。在教學中，學生應該以學習的主人的身份出現，在老師的啟發和引導下自己探索和思考出現的問題。在我的課堂教學中，每講到一個關鍵問題，就先啟發學生：為什么會這樣？結果又會怎樣？這種結果會不會改變？等等。如，在給學生講授“能被2.3.5整除的數的特征”時，我通過先和學生們做游戲來啟發他們對數學的興趣。我說：“同學們，老師有特異功能，不管你們說出多大的整數，老師不用計算就知道它是不是能被2.3.5整除，你們信不信，不信的話，我們可以試一試。”此話一出，課堂氣氛立即活躍起來，同學們也都躍躍欲試。結果，不管他們說出多大的數，我都能當即答出，而后學生們通過計算證明了我的答案。如此一來，學生們就很好奇：老師是怎么做到這一點的呢？真的是擁有特異功能嗎？還是運用了什么方法？這時，我鼓勵學生提問，或者學生提問學生答，再或者學生提問老師答，最后大家一起討論，等到討論得差不多了，再一一解開謎底。結果不言而喻，學生對數學的學習興趣自然提高了，同時也找到了學習數學的歸屬感。

三、提升小學數學教師專業素養

有研究表明：教師的數學專業素養偏低，這在較大程度上影響了新課程的推進，影響了教學質量的提高。［1］我認為：“數學教師的數學專業知識的深度是數學教師對數學課程調適和開發創新及數學教學方式轉變的保證。”［2］想要提高小學數學的教學質量，首先要實現小學教師的專業化。所謂實現小學數學教師的專業化，就是要努力實現由“經驗型教學”向“理論指導下的自覺實踐”、由單純“教學型”向“教學與科研并重型”的重要轉變。［3］其次，要樹立新的數學觀念。新的數學觀念包括：課程觀、學生觀、教學觀等，同時也要求教師從傳授知識的單一角色中解放出來，逐步轉化為教育教學的研究者、課程的建設者、學生學習的促進者等多元角色。最后，加強數學科學素質培養。如，讓教師加深對數學知識演變史，數學基本性質的認識，了解現代數學發展的趨勢和主流，把握每一個細小知識點的理論背景，以全新的視覺對小學數學進行多角度、全方位的透視。

四、重視教學設計的反思與完善

通過課堂教學實現“高效”的教學目標是每一位一線教師的理想，而這一理想的實現有賴于反復的、科學的反思。反復反思可以讓教師發現教學中存在的問題和差距，并能夠及時地解決問題和調整方案，有利于在二次教學中有效地整合設計，提高教學質量，進而提高自己的教學水平。在教案分析時，我發現很多教師的教學設計里缺少教學反思這個環節。即便是個別教案中涉及教學反思，也僅僅是一些如“教材分析清楚”“教學方法有待改進”“把握學生不是很準確”等毫無用處的套話，教案中也沒有修改的痕跡。由于很多小學數學教師并不重視對教學設計的反思和完善，日常的教案只是為應付學校檢查或作為抄襲的教參，以至連寫教案都成了形式主義更別說主動去翻閱以前的教案進行修改和完善了。然而，沒有反思和完善，就不會有積累，教師的教學設計能力也不會得到提高。要知道，教學設計的課后反思與完善是實現高效課堂的保障，其目的就是為了總結已有的知識經驗并進行有效的內化，查找失誤，指導未來。

數學家華羅庚曾說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學。”數學是一門抽象性、邏輯性、思維性都很強的學科。一個人的數學素養最重要的就是能夠以數學的角度去發現、觀察、分析日常生活中的現象，運用數學的思維方式解決現實生活中遇到的實際問題。所以，在數學教學中，小學數學教師應通過積極地引導和啟發，讓學生學會用數學的眼光去發現、研究周邊發生的事物，了解生活；學會自覺運用所學知識和方法去分析、解決問題。

參考文獻：

［1］張學杰.小學數學教師的數學專業素養例談［J］.貴州教育，2007，（10）:18.

篇3

關鍵詞：高等數學;概率論;教學方法

概率論作為數學的分支，主要研究一些隨機現象的數量規律。多數高等數學題目難度較大，步驟繁瑣且較困難，但是如果巧妙把概率論的知識代入其中，能夠化難為易，使復雜的過程變得簡單，進而激發學生對高等數學的學習興趣。

一、概率論

在17世紀的時候，人們就已經開始對概率論進行研究了。然而一直到18世紀，它才得到了快速發展。概率論發展的奠基人是瑞士著名數學家雅克比?伯努利，他在自己的論著中提出了伯努利定理――嚴格按照規定進行多次實驗，某些事件發生的頻率會朝著逐步穩定的趨勢發展。伯努利這一定理的提出對概率論的發展具有直接的推動作用。從此，概率論逐步被應用到不同領域中。

19世紀初，法國數學家普拉斯通過概率論分析理論著作，完成了對整個概率論學科體系的構建。他在自己的著作中明確闡述了概率論的定義：假設一個整體共由N個事件組成，假如每一事件發生的相同程度是肯定的，情況E由n個事件組成，那么情況E發生的概率就是n/N。

概率論的知識從17世紀開始被研究到發展至今，已逐漸完善并逐步成熟。它在許多領域內被廣泛應用，如物理學、生物學、軍事技術、農業技術、醫學等。人們對概論的研究水平也不斷提高，為社會的進步打下了基礎。

二、概率論在高數中的運用

高等數學是一個難度較大的學科。如果只是一味地運用傳統思路答題做有些高難度的高等數學題目，就會造成答題過程繁瑣，最后得出正確答案的幾率也很小。這時如果能夠把概率論的知識運用到具體的解題中，就往往可以快速、準確地算出結果。下面就通過一些不同的數學題目探討分析概率論在高等數學中的應用，為學生答題提供答題思路。

1.利用概率分布簡化解題步驟

概率論的基礎知識是概率分布，在解題時利用概率分布的知識可以簡化解題過程，提高解題的效率。在具體答題時可以把0～1之間的數字作為事件發生的概率，利用概率分布得到最后的答案。同時，這種答題方法可以使題目變得簡單，提高了結果的正確率，也節省了學生的時間，使學生更能夠理解高等數學和概率論之間的聯系。

概率論的知識也可以用來求極限問題。例如，求極限。在答這道題時，先假設ξ符合λ=6的泊松分布，那么P（ξ=a）=e-6=1，最后根可以據級數收斂必要性的有關知識得出。這種答題方法同樣適用于一些難度較大的題目，同樣可以使用概率論的知識簡化答題步驟。

2.概率論在計算廣義積分和級數中的運用

在概率論知識中，數學期望和方差是隨機變量所特有的特征。在解高等數學題時，利用方差與數學期望的隨機變量的關系，可以計算高數中求廣義積分和求級數等類型的題目。

在高等數學中，求解級數類型的題目可能會遇到很多問題，因此在解決這類題目時，應該更加注重方差和數學期望的引入。只有這樣，才能使題目化繁為簡，得出正確結果。

所以很容易就得出該題的最終結果是45。

篇4

報考專升本層次的成考生，如果選擇的是理工類專業，參加全國統考時，除政治、外語2門公共課外，還要加考高等數學(二)。從現行大綱的復習要求看，高數(二)要求考生掌握高等數學、概率論初步兩部分內容。

高數(二)的復習考試大綱適用于經濟學、管理學及職業教育類、生物科學類、地理科學類、環境科學類、心理學類、藥學類(除中藥學類外)6個一級學科的考生，是報考這些學科的考生復習備考的指導。

相關輔導老師介紹，從大綱規定看，考生具體復習考試內容共有極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微分學、概率論初步5類內容。

考生要對不同部分的內容做相應程度的掌握。其中，對“高等數學”部分中的極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微分學部分，以及“概率論”部分中的古典概型、離散型隨機變量及其數字特征等內容，要了解或理解其基本概念與基本理論。復習時，考生還要注意各部分知識結構及知識的內在聯系，要具有一定的抽象思維、邏輯推理和運算能力。同時，還要能運用基本概念、基本理論和基本方法判斷和證明，準確計算，并能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

從高數(二)試卷內容比例來看，一元函數微分學和一元函數積分學兩部分所占比例較大，分別為30%和32%，考生復習時可重點加強這兩部分。在一元函數微分學部分，考生要了解導數的定義、左導數與右導數等概念，掌握導數的四則運算法則與基本公式，掌握復合函數、隱函數、對數等的求導方法及其他內容;在一元函數積分學部分，考生要掌握不定積分、基本積分公式、換元積分法等知識，同時要掌握定積分的概念、性質及計算等知識。

篇5

據了解，高數（二）的復習考試大綱適用于經濟學、管理學及職業教育類、生物科學類、地理科學類、環境科學類、心理學類、藥學類（除中藥學類外）6個一級學科的考生，是報考這些學科的考生復習備考的指導。

北京向導學校相關輔導老師介紹，從2011年大綱的規定看，考生具體復習考試內容共有極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微分學、概率論初步5部分內容。

考生要對不同部分的內容做相應程度的掌握。其中，對“高等數學”部分中的極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微分學部分，以及“概率論”部分中的古典概型、離散型隨機變量及其數字特征等內容，要了解或理解其基本概念與基本理論。復習時，考生還要注意各部分知識結構及知識的內在聯系，要具有一定的抽象思維、邏輯推理和運算能力。同時，還要能運用基本概念、基本理論和基本方法判斷和證明，準確計算，并能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

從高數（二）的試卷內容比例來看，一元函數微分學和一元函數積分學兩部分所占比例較大，分別為30%和32%，考生復習時可重點加強這兩部分。在一元函數微分學部分，考生要了解導數的定義、左導數與右導數等概念，掌握導數的四則運算法則與基本公式，掌握復合函數、隱函數、對數等的求導方法及其他內容；在一元函數積分學部分，考生要掌握不定積分、基本積分公式、換元積分法等知識，同時要掌握定積分的概念、性質及計算等知識。